LON:學習筆記 | 零知識證明算法之PLONK——電路_CRS

最近研究了下零知識證明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，記一下學習成果與新的體會，和大家共同學習---江小白。

現狀

近些年，各種新的零知識證明算法層出不出，各有各的特點，各有各的優勢。借用V神系列文章里的一張圖來簡單呈現下當前的零知識證明算法現狀。

從圖中可以簡單總結出以下幾點：

理論上安全性最高的是STARKs算法，不依賴數學難題假設，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述兩者之間；其他的這里不做過多闡述，如想了解零知識證明更多信息，可參考鏈接；對于SNARKs算法，繞不開的一個點就是中心化的TrustSetup，也稱之為CRS(theCommonReferenceString)。而無論是PGHR13,Groth16,還是GM17算法，它們的CRS都是一次性的，不可更新的。即，不同的問題將對應著不同的CRS，這在某些場景下，會變得比較麻煩。這些存在的問題，變成了PLONK，SONIC這類算法的一個優勢，它們算法雖然也需要中心化的可信設置，但是它的CRS具有一定的普適性。即，只要電路的大小不超過CRS的上限閾值，一些證明問題就可以共用一個CRS，這種CRS稱之為SRS(universalStructuredReferenceString)，關于SRS的定義，詳細的可參考SONIC協議里的第3小節。PLONK算法繼用了SONIC算法的SRS的思想，但是在證明的效率上，做了很大的提升。接下來，讓我們詳細的介紹下PLONK算法的具體細節，主要從下面四個小節去分享：

ConsenSys推出學習模擬平臺MetaMask Learn，以幫助用戶了解Web3:金色財經報道，ConsenSys宣布推出學習模擬平臺MetaMask Learn，以幫助用戶在web3和自我托管錢包的世界中自我定位。據悉，MetaMask Learn是一個免費平臺，支持有10種語言，將提供一個交互式的MetaMask UI環境，以幫助那些剛接觸自我托管的人，并指導用戶使用最常用的功能以幫助他們開始了解web3。[2023/2/1 11:39:27]

電路的設計--描述PLONK算法的電路的描述思想；置換論證或者置換校驗--復制約束，證明電路中門之間的一致性；多項式承諾--高效的證明多項式等式的成立；PLONK協議--PLONK協議剖析；電路

PLONK算法電路的描述和SONIC算法一直，具體的過程可以參考李星大牛的分享，已經寫的比較詳細且易懂。在這個小篇幅里，我想主要分享下我自己的兩點想法：

無論是什么樣的電路描述方式，電路的滿足性問題都要歸結于2點，門的約束關系和門之間的約束關系成立；在SNARKs系列的算法里，電路的描述單元都是以電路中有效的線為基本單元，具體的原理可以參考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，電路的描述單元都是以門為基本單元。這兩種電路的不同描述方式帶來了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法時，我們都已經相信一個事實，“多項式等式成立，就代表著每個門的約束成立”，然后推斷，整個電路邏輯都是成立；在這個過程中，并沒有額外的去證明門之間的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要證明多項式等式成立外，還要額外的用置換論證的數學方法去證明門之間的約束關系，即復制約束。為何會有這樣的區別？希望有心的讀者能一起在評論區探討這個問題？我個人理解是因為電路的描述方式的不同：

動態 | 景德鎮市工信局舉辦區塊鏈技術與應用探索專題學習會:1月17日，景德鎮市工信局舉辦區塊鏈技術與應用探索專題學習會，邀請中國聯通（江西）工業互聯網研究院院長萬剛授課。市工信局全體干部職工、各縣區（園區）工信部門負責人、清華大學工信領軍總裁班學員和重點企業代表等70余人參加學習。（景德鎮日報）[2020/1/22]

PLONK算法里，電路描述的單元是門，它為每個門定義了自己的L,R,O，因此需要證明門之間的一致性；SNARKs算法里，電路描述的單元是線，門與門之間的值用的是同一個witness，因此不用額外證明一致性；置換論證

前面我們說過，在PLONK算法里，需要去證明門之間的約束關系成立。在做具體的原理解釋之前，我們先簡單的過一下PLONK協議的過程，如下圖所示：

可描述為：

根據電路生成三個多項式，分別代表這電路的左輸入，右輸入，輸出；利用置換校驗協議，去證明復制約束關系成立；步驟3和4，校驗門的約束關系成立。其中第1點已經在電路小節里闡述過了，接下來，將詳細的講解多項式置換校驗的原理。先從簡單的場景去講解：

動態 | 山西電力春節將開展區塊鏈等新技術學習與培訓:據新華網消息，山西電力將開展區塊鏈等新技術學習與培訓，其2019年春節后的學習內容主要集中在大數據、互聯網、區塊鏈等與電網發展密切相關的新技術新趨勢方面，讓員工了解泛在電力物聯網并預熱相關工作。[2020/1/3]

單個多項式的置換校驗

其實就是證明對于某個多項式f，存在不同的兩個點x,y，滿足f(x)=f(y)。下面來看具體的原理：

上圖中加入了一個正例P，一個反例A，方便大家理解置換校驗的原理。有幾點需要解釋的是：

而經過仔細剖析Z的形式，不難發現，Z(n+1)其實就是兩個函數所有值的乘積的比值(不知是否等同于V神文章里的坐標累加器？)。理論上是等于1。因此，我們需要設計這樣的一個多項式Z，需滿足：deg(Z)<n

聲音 | 湛江市委理論學習中心組會議：要促進區塊鏈技術集成應用:12月18日，湛江市委理論學習中心組召開會議。會議強調，要認真學習貫徹習近平總書記重要講話精神，充分認識發展區塊鏈技術的重要戰略意義，深刻把握區塊鏈技術在新的技術革命和產業變革中的重要作用，明確主攻方向，超前規劃布局，積極推進區塊鏈技術在多領域多場景應用。要促進區塊鏈技術集成應用，加快區塊鏈技術在數字金融、物聯網、智能制造、供應鏈管理、數字資產交易等重點領域的集成創新和融合應用，將區塊鏈技術應用與“數字政府”改革建設緊密結合起來，推進區塊鏈和經濟社會融合發展。

會議強調，要加快推動區塊鏈產業政策落地實施。借鑒國內外先進的經驗和做法，加強政策支持，盡快制定區塊鏈產業發展規劃，推動我市區塊鏈創新應用發展；堅持引進與培育并舉，加強人才隊伍建設；推進試點建設，加快構建產業生態。同時，全市各級各有關部門要加強學習研究，提高運用和管理區塊鏈技術的能力，引導促進區塊鏈技術和產業健康發展。（人民網）[2019/12/19]

Z(n+1)=1

動態 | 印度政府發起Swayam學習平臺 提供區塊鏈免費課程:據bitcoin.com消息，印度政府人力資源開發部發起的一個名為Swayam的學習平臺，提供有關比特幣、加密貨幣和區塊鏈的免費計算機科學課程。這個為期12周的本科課程名為“區塊鏈建筑設計和使用案例”，將于7月29日至10月18日授課。[2019/6/13]

2.乘法循環群剛好可以滿足這個條件，如果設計一個階為n的一個乘法循環群H，根據群的性質可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在設計Z時，會保證Z(g)=1；上圖中的自變量的取值也將從{1...n}變成{g...g^n}。所以在上圖中驗證的部分，a其實已經換成了群H里的所有元素。

3.根據論文中的協議，多項式Z是會發給可信第三方I驗證方V會從I處獲取到多項式Z在所有a處的取值，然后依次校驗。

下面具體看一下論文中的定義：

從定義中可以看出：多項式f,g在范圍內具有相同的值的集合；下面看一下論文中具體的協議部分，結合上述解釋的3點：

說明：圖4中的f,g對應圖3中的f。即f,g是同一個多項式。其實只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一個多項式。圖3是一個特例而已。

跨多項式的校驗

其實就是證明對于某個多項式f，g，存在兩個點x,y，滿足f(x)=g(y)。與存在兩處不同：

多個多項式；不強制x,y的關系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小節的基礎，這次我們先看一下相關的定義：

從定義可以看到，這次是兩個多項式集合見的置換校驗算法。從標注的部分可以看出：

兩個多項式集合仍然具有相同的值的結合；為了區分集合里的多項式，自變量的索引得區分開來；因此，可以想象的到，如果存在兩個多項式f,g，想要證明f(x)=g(y)，那么根據以上描述可以判斷{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保證了上述第1點的成立。

下面我們看一下具體的原理：

和(1)小節相比，證明方P增加了些工作量，驗證方V工作量不變。結合上述描述，也能很容易的理解其數學原理。

說明：至此，其實我們已經慢慢的接觸到PLONK算法的核心了，前面我們講到，電路的滿足性問題除了門的約束關系還有門之間的約束關系。

比如一個輸入x，它既是一個乘法門的左輸入，又是另外一個乘法門的右輸入，這就需要去證明L(m)=R(n)，這就是跨多項式的置換校驗。

下面再給出論文里的協議內容：

至此，本篇文章已經描述了，在PLONK算法里，電路的設計以及復制約束的成立驗證兩大部分，接下來，將會另起一片文章，去分享門約束的成立和整個協議的具體步驟。

以上都是作者小白的個人理解，還希望各位讀者多多指教，謝謝。

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