哈耶克:雙向復利神奇_馬斯克什么星座

我的目的不是為了幫大家溫習數學，而是探索以下重要且有趣的話題：

1、聰明的試錯，是一個逆向復利的過程，它可以幫助我們以指數增長的速度，逆向逼近正確答案；

2、絕大多數成就的取得，都是通過復利效應實現的。但是，復利很難。本文我將講述復利的雙向測試，為靠譜的復利搭建一個可計算的腳手架；

3、兩頭求極限，才是馬斯克的“第一性原理”中最重要但卻被忽略的部分。

4、凱利公式給出了一個最大收益與下注比例之間的數學關系。該公式是在基于概率的復利公式的基礎上，通過取對數然后求導得出的；

5、既然說到了對數，自然要說一下神奇的自然對數e，以及自然增長的極限。

以可感知的方式來重溫對數，能幫助我們從底層理解這個世界的算法。

log10(10)

《魷魚游戲》中的第五關，是“跳玻璃橋”。

有16位選手按照順序過一條玻璃橋。玻璃橋由18節構成，每節有左右兩塊玻璃，一邊是普通玻璃，一邊是強化玻璃。

游戲規則是：參賽者必須正確分辨出普通玻璃和強化玻璃，若踩到普通玻璃就會當場摔死，一路踩到強化玻璃才能過關。

二選一，即使靠蒙，勝率也高達50%。

然而，雖然每一節的變化只有2，兩節的變化也就是22，連續18節的變化是2的18次方，卻高達262144種。

這是一個指數級的增長。

要想連續18次都蒙對，成功的概率是分之一，也就是約為30萬分之一，約為死于從樓梯上摔下來概率的二分之一。

然而，在《魷魚游戲》里，最終有三個人過關，除了靠玻璃廠師傅肉眼辨別出來的較少環節，主要都是以人命為代價蒙出來的。

理論上，如果人們不自相殘殺，即使是靠蒙，活下來的人也應該多于三人。

為什么一個成功率只有近三十萬分之一的游戲，僅僅靠十幾個人就能打通關呢？

因為這是18個串聯在一起的二選一，18個人用命去蒙，相當于一個逆向的指數效應，可以用非常有限的測試，來找到262144種可能性中唯一正確的可能性。

我稱之為：逆向復利。

如各位聰明讀者都知道但可能早已忘記的數學，玻璃橋游戲的巨大不確定性是來自指數增長，而消除不確定性則是靠指數函數的反函數：

對數函數。

log10(100)

先來玩兒一個簡單游戲：

已知有兩個抽屜，各有一黑一白兩個盒子，一共四個。其中一個盒子里有顆大鉆石，猜中了就歸你。你可以問任意問題，主持人必須回答，但只能說“是”或者“不是”。請問你最少要問幾次？

也許你在宿舍生活時，玩兒過類似的游戲：通過不斷問問題，獲得“是或不是”的反饋，然后一步步解出謎題。

答案是你需要問兩次：

第一次：是在左邊的抽屜里嗎？

第二次：是在黑色的盒子里嗎？

這是一個簡化版的“過玻璃橋”游戲。

有算法的瞎蒙，有時候并不蒙瞎。

近300年前，牧師貝葉斯設計了一個思想實驗：

他背對一張桌子坐著，桌子上有個白球，他并不知道白球的位置。

然后，他讓助手隨機往桌面上扔黑球，黑球落在桌子上的位置完全是不確定的；

接下來，每放完一個，他就問助手白球相對于黑球的方位。比如，助手說白球在黑球的右邊，他就猜也許白球在靠右一點兒的位置；

然后，助手又隨手扔了一個黑球，并且告訴他這個白球是在黑球的左邊。于是他更新了猜想，可能白球并沒有那么靠右；

歐易OKX校招負責人：Web3給企業和人才提供了雙向機遇和挑戰:8月6日，歐易OKX聯合發起的《考進Web3》系列測評舉行了首場考前分享，歐易校招負責人Kenny出席并發言。在發言中Kenny著重強調Web3的出現給企業和人才提供了雙向的機遇和挑戰。

Kenny表示，目前Web3行業和區塊鏈技術發展還屬于比較早期，從業人才需要對行業有強烈的好奇心和熱情；根據歐易對人才的需求，合格人才需要同時兼具敏捷性，自驅性，堅韌性，創新力。

在發言中，Kenny特別強調歐易聯合領域Linkedin出版的《2022 全球區塊鏈領域人才報告-Web3 方向》，該報告報告全文近2萬字，耗時近3個月，數據樣本覆蓋180個國家，囊括了全球區塊鏈行業概覽，人才現狀以及人才發展趨勢與建議三大板塊。[2022/8/9 12:13:11]

就這樣，扔的黑球越多，他就越能逼近白球真正的位置。

這個“無聊”的游戲靠譜嗎？

該實驗中，僅用模糊的相對關系，就能逐步推斷出結果。關于這一點，我會另外在一篇《逆風而行》的文章中再談及。

事實上，貝葉斯的這個思想實驗，是對休謨的因果懷疑論的反擊。結果，產生了一種“由果推因”的逆概率計算，迄今仍在深刻改變這個世界。

也許你會覺得，這種瞎猜，要猜到什么時候？

和過玻璃橋一樣，貝葉斯的計算，也有一種逆向的指數效應，能夠快速逼近白球的真正位置。

log10(1000)

在過玻璃橋游戲里，每一節的變化是2，連續18節的變化，就是2的18次方，這是一個指數運算。

計算結果，是262144種變化。

那么，如果我們只知道一共有262144種變化，但不知道玻璃橋有多少節，該如何計算呢？

這就是指數運算的逆運算：對數運算。

如果a的x次方等于N，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。

對數的意思是：用幾個數與自己乘在一起會得到另一個數？

例如2的三次方是8。那么反過來，多少個2相乘可以得到8？

通過對數運算可知，log2(8)=3。

在過玻璃橋的游戲里，2的18次方等于262144，那么：log2(262144)=18。

指數運算，能夠迅速將一個數字變得非常大；

對數運算，能夠迅速將一個數字變得非常小。

二者放在一起，是一種雙向的“復利效應”。

log10(10000)

關于不怕失敗，主動試錯，已經是老生常談。

《霍亂時期的愛情》里寫道：

“趁年輕，好好利用這個機會，盡力去嘗遍所有痛苦，這種事可不是一輩子什么時候都會遇到的。”

為什么要趁年輕犯錯呢？什么是聰明的犯錯呢？

記得有位科學家說過：所謂專家，就是在一個極小的范圍內犯過了所有的錯誤。

以下圖為例：

你要找尋圖形中藏寶的小方塊，即使你只能像過玻璃橋那樣去試，一次猜一半，你也會以非常快的速度逼近寶藏。

但是，要有以下前提：

1、有邊界。即使逆向的指數效應很強大，但也很難解決沒有邊界的問題；

Solana Pay上線交易請求功能，可實現商家和消費者之間的雙向交互:5月5日消息，Solana 發推稱其支付協議 Solana Pay 現已上線交易請求功能，可實現商家和消費者之間的雙向交互，目前可以通過結賬應用和移動錢包之間的交互請求將任何 Solana 交易帶入現實世界，從而實現 NFT 鑄造、動態折扣、代幣化忠誠度計劃等。

此前消息，2 月份，Solana Labs 宣布推出 Solana Pay 支付協議，使得商家可以直接從消費者處接受加密支付，目前支持穩定幣 USDC、Solana 的原生代幣 SOL 以及其他基于 Solana的代幣。[2022/5/5 2:51:36]

2、有算法。例如過玻璃橋看似殘酷，但其實是由一連串二選一的問題組成，數學上可以計算，能夠不斷逼近答案；

3、有反饋。猜對玻璃，活命；猜錯玻璃，死掉。但是對于整個系統而言，假如只是一個游戲，其實猜對或者猜錯，就信息的傳遞而言，是等價的；

4、能遍歷。參與游戲的人不僅要犯掉所有的錯誤，還要能夠在犯錯之后活下來。對創業者而言就是在錢花光之前快速犯錯然后找到活路。

可口可樂公司的CEO詹姆斯.昆西說：“如果我們不犯錯，那就表明我們工作上都不夠努力。”

奈飛的哈斯廷斯認為：“我們必須要冒更多的風險……去嘗試更瘋狂的事情……。”

貝佐斯將極可能是錯誤的“大膽押注”視為實驗品：

“既然它們是一次實驗，那么你肯定就不能提前知道它們會產生怎樣的作用。畢竟實驗究其本身來講就是一件容易失敗的事兒。但只要有幾個巨大的成功就能彌補你所經歷的無數次的失敗。”

然而，所謂“失敗是成功之母”，在我們這個演化的世界里，對絕大多數人而言并不成立。

即使你勇于失敗，不斷探索，假如你的犯錯不夠聰明，不夠隨機，運氣不夠好，成功照樣不會來臨。

聰明而主動的犯錯，需要有邊界、有算法、有反饋、能遍歷，也需要一些瘋狂、隨機和冗余。

哈耶克說：

雖然進化經常被總結成“適者生存”，但推動進化進程的卻往往是不適者。盡管我們總是本能地以為復雜問題需要精心設計的解決方法，但進化卻毫無規劃可言。復雜得驚人的事物是在簡單的過程中涌現出來的：嘗試已有事物的不同版本，剔除失敗，復制成功經驗。

所以，成功學最大的問題是，忽略了那些事后不再發聲的失敗要素，簡化了因果，甚至顛倒了因果，并且認為成功可以被設計，被簡單復制。

log10(100000)

對于人們熱衷于探尋模式和設計因果，哈耶克批評道：

人們總以為自己能設計出這樣或那樣的東西，但實際上，他們對要設計的東西幾乎一無所知，經濟學的獨特職責就是展示人們的這種無知。

哈耶克的這句話，尤其適合應用于教育領域。

教育的目的和意義到底是什么？

以前是為了培養技能，可以上生產線紡紗造車。現在早變了，漫長的求學生涯，是人類社會的一種冗余機制。

對一個孩子而言，在被保護的童年與青少年期間，低成本地去犯人生當中所有可能的錯誤，也許是最有價值的。

所以，如哈耶克所言，教育應該允許孩子通過犯錯，暴露出自己的無知，自己的愚蠢。

可事實呢？犯錯、無知，是學校里最無法容忍的。

于是，可笑的事情出現了：一個人經歷了十幾年的教育，不斷追求如何將這輩子幾乎都不會再用上的知識做到“不出錯”，不斷地將那些嚴絲合縫的因果關系背得爛熟，最寶貴的個性因為無法顯現而被磨滅，無價的多樣性被統一的生產線加工成一個模子。

可是，我們眼前復雜的現實世界，越來越像休謨在幾百年前所說的：

Celo計劃搭建鏈接促進Cosmos和Celo網絡雙向通信:11月19 日消息，Celo已向利益相關方服務提供商Chorus One授予了一筆贈款，用于搭建促進Cosmos和Celo網絡之間互操作性的鏈接，該鏈接將允許Celo與Cosmos之間進行“雙向通信”，從而使Celo的cUSD穩定幣可以在Cosmos網絡上運行，而基于Cosmos的資產（包括ATOM，BAND和KAVA）可以存儲在Celo Reserve中。（cointelegraph）[2020/11/19 21:19:33]

“我們無從得知因果之間的關系，只能得知某些事物總是會關聯在一起。”

產生于工業革命年代的傳統教育，早已無法應對非線性的、不確定的當下。

如果傳授確定性知識的教育只是成為一個智力測試系統，以摧毀人才的方式來選拔人才，那么這一代價對社會、對個體而言都太昂貴了。

某女子學校創建了一個名為“失敗”的項目。負責人雷切爾·西蒙斯說了一句非常貝葉斯主義的話:

“我們想要告訴大家的是，失敗并不是學習過程中犯的錯誤，而是學習過程中的特征。”

教育教會我們學習和思考，更是教會我們如何挖掘自己獨一無二的寶藏。

大自然實現了某種有算法的隨機性，學校也應該如此。

所謂因材施教，不是定制名表，定制名包，而是提供一個有算法的系統，并且通過模擬真實的現實世界，讓孩子自由探索，大膽犯錯，無所顧忌地暴露自己的無知，呈現自己的天性，從而發現自己的稟賦，點燃愿意終其一生去努力的理想。

接下來，我要通過可逆的指數和對數運算，講到復利的雙向測試。

log10(1000000)

“奇怪”的是，對數的發明先于現代指數。原因是對數當時在航海與天文學領域太實用了。

對數可以將高級運算降為次級運算，例如化乘方開方為乘除，化乘除為加減，從而極大降低了運算量。

指數和對數互為“反函數”，二者之間是可逆的關系。

先看從指數到對數：

我們把k輸入到上面的運算器，經過指數運算，得到a的k次方，再代入對數運算，又輸出了k。

再倒過來，看從對數到指數，一樣是輸入K，輸出k。

如上運算器，我們可以從左邊輸入，右邊輸出；也可以從右邊輸入，左邊輸出。

就像貝葉斯提出的逆概率，從而實現了可以“由果推因”，如上的雙向運算，既是由因推果，又是由果推因。

這種方法，可以幫助我們檢驗自己的信念。

例如，假如你看到：

某人非常聰明并且努力，所以在房地產行業賺到了很多錢。

你就可以做一個雙向測試：

從“非常聰明并且努力”，可以推出“在房地產行業賺到很多錢”嗎？

從“在房地產行業賺到很多錢”，可以推出“非常聰明并且努力”嗎？

如果不能，我們可能需要重新定義自己的那個信念。

以下我要講的，絕非用公式包裝成功學，而是分享一個有趣的“感知”。

我相信，如果你懂得創業，又懂指數和對數，一定能對如下內容會心一笑。

先定義一下，世俗意義上的成功，大多是通過大規模復制實現的。

動態 | eNotes提出區塊鏈O2O鏈上鏈下雙向互通解決方案:eNotes CEO王健先生今天在上海區塊鏈國際周上發表“一把可流通的密鑰”主題演講，提出了O2O鏈上鏈下雙向互通解決方案，即“讓鏈上的資產在鏈下流通，讓鏈下的資產得到鏈上的保護”。具體而言，eNotes將密碼學與硬件技術相結合并運用到區塊鏈應用上，使得鏈上鏈下的資產保持同步且雙向互通，通過“流通之密鑰”的物理形式，使傳統區塊鏈中效率低、手續費高、隱秘性差等區塊鏈應用痛點得到解決。[2018/9/10]

企業復制產品，個人復制IP，基因復制生命。

成功的復制，就是將某樣有價值的事物重復足夠多次，從而實現復利。

越厲害的復制，越是有指數效應，并且邊際成本遞減，還能形成網絡效應。

那么，復制什么呢？

在指數運算里，復制的是底數。例如，2的18次方是262144，其中底數是2，指數是18。

回到創業。

眾所周知的精益創業，其核心思想是，先在市場中投入一個極簡的原型產品，然后通過不斷的學習和有價值的用戶反饋，對產品進行快速迭代優化，以期適應市場。

精益創業的三個主要工具是：“最小可用品”、“客戶反饋”、“快速迭代”。

在大規模復制之前，創業者必須以最小的成本和有效的方式驗證產品是否符合用戶需求，在最短時間里找到有價值的認知。

快速地去蒙，聰明地去試錯，就像貝葉斯身后亂扔的球，以及過玻璃橋的大膽一躍。

這個有價值的認知，就是指數運算和對數運算中的底數。

創業的第一階段，從0到0.1或者從0到1，像是一個對數運算；

在經過驗證和迭代后，再實現爆發式增長。像是一個指數運算。

阿里云總裁認為技術只有兩個核心價值：

第一、對于驗證成功或接近成熟的業務，快速規模化，實現指數增長。

比如從1-10用了10天，那你從10-100應該只用兩天或一天。

第二、要幫業務團隊快速試錯。

讓產品快速上線，別在乎什么架構，有反饋才知道這個業務行不行，能不能活下來。

所以，創業的過程，交織著對數運算和指數運算。我們需要從兩頭分別輸入數字，往返測試，以求發現內核，然后進行大規模復制。

一頭計算作為復制內核的底數，一頭計算指數增長的規模。

我在《人生算法》里，將此拓展到個人的演化：

上半場，是一個切割鉆石的過程，目的就是為了不斷找到真正屬于你自己的最小的那個內核。

下半場，就是如何通過復制，令最小的內核最大化。

為什么要用“最小內核”來做指數運算的底數？

復利增長的關鍵是復制的連續性和穩定性，物理意義上去掉多余的部位，信息意義上去除噪音，能夠令最小內核的復制更可持續。

這個過程，總是伴隨著打破和重建。新晉導演章子怡認為，導演就是一個“打破瓶子”的過程：“你得把瓶子打碎了，鉆出來透口氣，再鉆進另一個瓶子里。”

尼采錯了，并非“那些殺不死你的，終將使你變得更強大”，而是你的強大需要通過殺死“不夠強大”而呈現出來。

正如演化算法的三部曲：變異，選擇，復制。

變異是某個認知，這個認知以某個最小化產品的形式被放在具體環境里，通過與環境的雙向選擇而不斷迭代，一旦其生存模式被驗證，就大規模復制。

一個人，或者一個機構，其成功的最大秘密是：找到可大規模復制的“大概率事件“。

log10(10000000)

聲音 | 銀保監會于學軍：銀行業與科技是雙向互相影響的關系:據網易財經消息，銀保監會國有重點金融機構監事會主席于學軍今日表示：“銀行業與科技不是一個簡單的計算機或科技手段的概念，而變為一個互聯網或者移動互聯網的概念，并從此而產生所謂大數據、云計算、區塊鏈、虛擬貨幣、ICO等新技術、新業態。此時，銀行與科技的關系，就不再是作為科技輔助手段，由單向的利用與被利用關系，演變成一種雙向互相影響的關系。”[2018/8/26]

事實上，馬斯克總是提及的第一性原理，也包含了類似的雙向推導。

先前，人們對“第一性原理”的理解主要是：

把一些事情歸結為最基本的原則，尤其是物理定律，少一點兒類比，少一點兒夾層解釋。

但其實不止于此。

馬斯克說，另一個方法是：

在極限中思考問題。

如果你在思考一件事情的同時，把它擴展到一個非常大的范疇或一個非常小的范疇，事情會發生什么變化？

舉個例子，不管是造電動車還是火箭，假如零件太貴，成本太高，你就可以想：

如果每年的產量是一百萬臺呢？那還貴嗎？

如果一年一百萬臺還是很貴，那么數量就不是你的東西貴的原因，根本問題出在設計上。

這樣一來必須改變設計，改變零部件，從根本解決價格問題。

這個，是從規模極限去推導。

然后，倒過來，從基本單元的極限去推導，一直到原子層面。

例如生產火箭，一直拆解到初始的資源和原料：

如果你看一下火箭的原材料，你會發現原料有鋁、鋼、鈦合金、特種合金、銅等；

每個部件的組成元素的重量是多少，原材料價值是多少？

在不改變原材料的情況下，以上幾個問題為火箭的成本設定了漸近極限。

更進一步，把原子排列成最終的形狀，這將是你產品的最低成本。

在馬斯克看來，產品的制造成本漸進式地接近其原材料價值。

所以，關于產品的第一性原理是：

嘗試想象完美產品或技術，不管它是什么。然后思考：原子怎樣才能完美地排列？進而找出如何獲得這種形狀的物品。

但是，大多數時候，人們停留在“夾層”。從觀念上固守已有的東西，傾向于使用他們熟悉的工具和方法。

馬斯克的思考方式是，通過雙向推導：

我們一方面可以去發現規模效應下的完美產品；

一方面去創造工具、方法，找尋材料，從原子層面構建基本單元。

從因到果，再從果到因，雙向推導至極限，會創造出驚人的奇跡。

log10(100000000)

在《魷魚游戲》中的第五關“跳玻璃橋”，一個人向前跳，不管他踩中了鋼化玻璃，還是不幸踩碎普通玻璃，都為團隊提供了信息。

這種信息，是通過消除不確定性來實現的。

就信息本身而言，“正確”或者“錯誤”，是等價的。不同的是，“正確”的人有機會再去踩下一關的玻璃。

那么，該如何度量信息呢？

香農引入了“比特”的概念。

比特來自二進制，香農認為可能擁有的最簡單的信源，就是拋硬幣，正或反，是或否，1或0，這是可能存在的最基本的信息。

就像信息的原子。

比特是在兩個等概率的可能性之中進行選擇后所產生的信息量。所以“一臺擁有兩種穩定狀態的設備……能夠存儲1比特信息”。

回到開始的猜鉆石游戲，你需要多少信息？

在左右抽屜里二選一，對應1比特；再在黑白盒子里二選一，對應1比特；

所以你總共需要2比特，以實現在四個盒子里選出一個。

玻璃橋游戲里，總變化高達262144種可能性，但因為這是18個串聯在一起的二選一，我們算一下需要多少信息：

也就是計算262144以2為底的對數：log2262144=18，相當于2的18次方的逆運算。

為什么計算對數？

因為：采用概率分布的對數作為信息的量度具有可加性。

由于求對數，所以有一種逆向的指數效應。其所產生的加速效應，我稱之為逆向復利。

過玻璃橋的變化雖然很多，但信息只有18比特。

那么，每跳一個人，不管是否掉下去，就獲得了1比特。

當然，如果沒掉下去，就又多了一次下一輪的測試機會。

由此，每跳一次，就獲得了一個信息，也就消除了一部分不確定性。教科書對此的描述是：

香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農熵，或信息熵。

在信息論里面，熵是對不確定性的測量。

在信息世界，熵越高，則能傳輸越多的信息，熵越低，則意味著傳輸的信息越少。其公式如下：

其中p代表隨機事件X為xi的概率。

還是以扔硬幣為例。

扔一次硬幣，出現正面的概率是p1=0.5,出現反面的概率也是p2=0.5。

所以，根據公式計算：

H=-(0.5log2(0.5)+0.5log2(0.5))=1比特

但是，如果這枚硬幣被做了手腳，出現正面的概率是0.7,反面是0.3。那么“扔一次這個硬幣”這個事件的信息熵是多少呢？計算如下：

H=-(0.7log2(0.7)+0.3log2(0.3))=0.88比特

假如你去玩拋硬幣的游戲，而且你知道有一桌的硬幣做了手腳，正面概率是70%，那么你一定會選這一桌，并且每次都押正面，因為其信息熵更低，這意味著該“不確定性”比公平的硬幣降低了。

在《魷魚游戲》里，那位玻璃廠的老師傅，就是靠自己的專業，降低了自己每一次蒙的行為的信息熵，就像上面那個做了手腳的硬幣。

因此，他消除不確定性的“能力”更強。

log10(1000000000)

再說回復利的主題。

復利的基本公式，是一個指數運算。

復利算起來很簡單，實現很難，原因見《復利的謊言》：

真相1、世界被隨機性主宰；

真相2、連續性很難實現；

真相3、現實是不均勻的；

真相4、回報是不對稱的；

真相5、籌碼是有限的。

用復利公式來描述以上幾點就是：

1、利率r與期數n都是說不準的；

2、比較好的回報r，期數n總是不長久；

3、利率r總是起起伏伏，時好時壞；

4、現值PV大，終值FV未必大；

5、以總值論，本金太小。以比例論，本金撐不到賺錢的時刻。

那么，復利公式還有用嗎？

在充滿不確定性的現實世界，用概率來描述一個事件，是理性且智慧的。

復利公式也不例外。

確定性下的復利公式是：

但是，現實世界的回報r并不確定，那么我們用概率來描述。

舉例：若一投資有60%的獲勝率，而投資者在贏得賭局時，可獲得一賠一的賠率。為了避免爆掉，所以下注者每次會控制下注比例，假設是x，那么連續下注n次，期望值計算是：

f(x)=(1+x)^(n0.6)(1-x)^(n0.4)

如上，這其實是一個概率世界的復利公式。

首先，這里仍然有一個重要前提：期望值為正。否則就是賭博。

這時，我們會發現，下注比例x太小，賺不到錢；x太大，可能會爆掉，以致無法實現遍歷性而“享用”正期望值。

有沒有一個方法，可以控制x的數值，就像用開關控制水量一下，調節每次下注的比例，在確保不會爆倉的前提下實現收益最大化？

轉化為數學問題，就是求上面f(x)的極大值。

當年索普向香農請教期望值優勢下的下注比例問題，香農向他推薦了自己同事凱利的一個公式。

與索普自己的信息熵公式有點兒像，凱利公式是對概率世界的復利公式取對數，然后求極值。

凱利公式的目標是：最大化資產的增長率，也即最大化對數資產的期望值。

設開始時的資產是1，每次下注的比例為f，有p的概率會以b的賠率贏錢，資產的對數期望值計算如下：

要找到最大化這個期望值f，只需E對f的導數值為零：

求解上述方程，得出凱利公式：

用圖形，更容易看出凱利公式的工作原理：

橫坐標是下注比例，縱坐標是回報。下注小，安全但回報低；下注大，極可能回報也不高風險卻很大。

凱利公式幫助我們找到圖中的峰頂，對應的就是最佳下注比例。

人的一生，是由很多個下注串起來的。雖然不像過玻璃橋那么非死即活，但一樣充滿了巨大的不確定性。

每次做決策時，計算一下輸贏的概率，算一下回報，并且隨時提醒自己控制好下注的水龍頭，千萬別Allin。

凱利公式的工作原理圖最上方的那個點，也許是我們想在人生中找尋的位置：活下來，活好。

log10(10000000000)

如上所述，對數與復利式的增長有關。

假設我們往銀行存1個億，銀行的年息是100%，如果每年產生一次，那我們可以知道一年到頭你的賬戶總額是：

但是如果我們換成一個月產生一次利息，然后你又把每個月的利息重新存入本金，那你一年到頭的賬戶總額是：

進一步，我們換成一個天產生一次利息，然后你把每天的利息重新存入本金，那你一年到頭的賬戶總額是：

假設銀行愿意每秒付利息，你也每秒取出利息再存入，利滾利會不會漲上天呢？

并不會，你的銀行余額是2.7182817813元。

所以，1元錢存1年，在年利率100%情況下，無論怎么利滾利，其余額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e≈2.71828…。

e，作為數學常數，是自然對數函數的底數，亦稱自然常數、自然底數，或是歐拉數。

在谷歌2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整數，而是$2,718,281,828，正是來自e。其2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，與圓周率有關。

e和π，的確是兩個最神奇的數字了。

e的本質，是自然增長的極限。

e在自然界無處不在，最有名的是等角螺線，又叫對數螺線或生長螺線。

例如：

還有：

昆蟲以等角螺線的方式接近光源；

蜘蛛網的構造與等角螺線相似；

旋渦星系的旋臂差不多是等角螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為12°；

低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺線。

雅各布·伯努利格外喜歡等角螺線。他發現了等角螺線經過各種適當的變換之后仍是等角螺線，并對此十分驚嘆和欣賞。

放大和縮小后的對數螺線，和原圖形相似。

還有旋轉的自相似性：旋轉后的對數螺線，和原圖形相似。

于是，雅各布·伯努利要求將等角螺線刻在自己的墓碑上，并附詞：

縱使改變，依然故我。

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