ROT:一文了解最熱門的 zkSNARK 方案：Groth16 方案_KSN

原文標題：一文了解最熱門zkSNARK方案：零知識證明引論

在之前的文章中，我們介紹了零知識證明的基礎概念以及構造zkSNARK的基本思想和方法。從本文開始，我們將逐一介紹目前最熱門的zkSNARK方案。文章旨在讓讀者理解這些方案的基本原理。為了方便敘述并容易理解，在敘述方案時，我們會做一些簡化處理，重在傳達方案的核心思想。

本文介紹的是Groth16方案。Groth16方案，顧名思義，就是Groth在2016年發表的一篇論文中提出的方案。目前為止，Groth16是在實踐中使用最廣泛的zkSNARK(沒有之一)。特別一提的，Zcash目前使用的zkSNARK方案就是Groth16。從性能上，Groth16的Verifier性能是所有zkSNARK中最快的，其證明字符串也是最短的。

而Groth16的最大缺點就是它需要對每個電路都執行一次可信初始化。

在介紹Groth16之前，簡單回顧一下zkSNARK所要解決的問題。我們稱這個問題為「計算驗證問題」。

計算驗證問題

任何計算都可以描述為一個算術電路。一個算術電路可以對數字進行算術運算。電路由加法門、乘法門以及一些常數門組成，如下圖所示：

加密交易所比特幣期貨交易量已連續第4個月上漲:金色財經報道，數據顯示，加密貨幣交易所的比特幣期貨交易量（以美元計算）已連續第4個月上漲，截止目前，3月已累計交易量達1.14萬億美元，接近2022年7月創出的1.2萬億美元的高位。

值得注意的是，加密貨幣交易所的比特幣期貨交易量在2021年5月創出新高，達到2.69萬億美元，隨后便不斷下跌，即使BTC在6個月后創出歷史高位，達69000美元時，交易所的比特幣期貨交易量最也并未創出新高，只有1.59萬億美元。[2023/3/29 13:32:57]

這個例子中的電路包含了15個門。這個電路所描述的計算過程需要輸入五個數字x1到x5，輸出四個數字。

給定一組輸入的數字，需要把這個電路中的每個門都計算一遍，才能計算出這個電路的輸出。在這個例子中，如果輸入是(1,2,3,4,5)，則電路的輸出為(-27,14,80,171)，如下圖所示：

計算驗證問題是指，如果一個驗證者——不妨叫做Verifier——只拿到了電路的一組輸入和輸出，如這個例子中的(1,2,3,4,5)和(-27,14,80,171)，它該如何驗證這是一對合法的輸入和輸出呢？最簡單粗暴的方法就是把這個輸入重新扔進電路算一遍。如果電路很大的話，這個驗證方法最大的缺點就是效率問題。

非托管流動性質押平臺Ether.Fi完成530萬美元融資:金色財經報道，非托管流動性質押平臺 Ether.Fi 完成 530 萬美元融資，North Island Ventures、Chapter One 和 Node Capital 共同領投，BitMex 創始人 Arthur Hayes 參投。

據悉，Ether.Fi 允許用戶保持對其密鑰的控制，同時將以太坊驗證器操作委托給節點操作員。通過其協議生成的每個驗證器都將表示為NFT。存入至少 32 ETH 的以太坊質押者將持有 NFT，這代表了驗證者的經濟利益。一旦流動資金池和協議資金管理智能合約被實施，這個 NFT 就可以被分割。（Coindesk）[2023/2/28 12:34:24]

有些場景下，效率還不是唯一的問題。例如，輸入可能包含Verifier不能知道的秘密信息。假設上例中的(3,4,5)是秘密輸入，Verifier只能看到(1,2)，如下圖所示。此時Verifier要驗證的問題就變成了「是否存在(?,?,?)使得電路在輸入(1,2,?,?,?)的時候的輸出是(-27,14,80,171)」。這個場景下，即使是簡單粗暴的重新計算也不再可行。

自FTX破產以來，比特幣首次逼近1.9萬美元:金色財經報道，比特幣 (BTC) 的上漲使比特幣 ( BTC ) 達到 18,800 美元，當日上漲 7%，這是自 11 月初因加密貨幣交易所 FTX 崩盤而跳空下跌以來的最高水平。隨著今天的上漲，比特幣在 2023 年迄今已上漲約 14%，因為它有望從 2022 年的熊市中復蘇。

周四早些時候，政府報告稱，美國12 月份 CPI 從上月的 7.1% 降至 6.5%，與經濟學家的預測一致，這可能為美聯儲將加息速度從12月的每次會議50個基點降至25個基點鋪平了道路(此前為75個基點)。[2023/1/13 11:09:25]

一句話概括計算驗證問題：Verifier能否在不知道秘密輸入的情況下，高效地驗證計算結果？

從電路到R1CS問題

一個zkSNARK就是對上述問題的一個解決方案。使用zkSNARK，一個證明者，叫做Prover，可以為計算過程生成一個簡短的證明字符串。Verifier讀取這個字符串，就可以判斷給定的公開輸入和輸出是否合法。

Groth16是眾多zkSNARK構造方案中的一種。接下來，我們介紹Groth16是怎么解決計算驗證問題的。

比特幣全網未確認交易數量為14071筆:金色財經報道，據BTC.com數據顯示，目前比特幣全網未確認交易數量為14071筆，全網算力為252.73 EH/s，24小時交易速率為3.18交易/s，目前全網難度為36.76 T，預測下次難度下調0.07%至36.74 T，距離調整還剩1天11小時。[2022/11/20 22:07:34]

首先，我們重新審視一下Verifier的任務：我們只知道電路的前兩個輸入是(1,2)，我們的目標是要判斷是否存在一組合法的秘密輸入，使得電路的輸出是(-27,14,80,171)。如果我們換個角度看這個問題，它其實可以描述為：給一個電路，上面有些空格可以填數字，有些空格已經填上了數字，請問是否存在一種填法，能夠同時滿足每個門的邏輯？

從這個新的角度，計算驗證問題被轉換成了一個類似于數獨那樣的填數字游戲：有一些空格，一部分已經填上，請你填上另外一些空格，滿足一些限制條件。

然后，我們為每一個要滿足的條件列一個方程。這里，每個要滿足的條件其實就是一個門的邏輯：加法門的輸出等于兩個輸入之和，乘法門的輸出等于兩個輸入之積。于是，原來的填空游戲就變成了一個多元方程組。上述例子轉化得到的方程組如下：

Coinbase：近期比特幣拋售由短期投機者造成:金色財經報道，根據加密貨幣交易所Coinbase的數據，盡管投機者逃離市場，比特幣的長期投資者在最近幾周持有他們的比特幣。Coinbase機構研究主管David Duong在周二發布的月度展望中表示，最近的比特幣拋售幾乎完全由短期投機者造成。Duong稱，投資者仍持有比特幣是一個積極的情緒指標，在投機者拋售時確保了供需平衡，這是熊市的常見特征。（CoinDesk）[2022/7/13 2:10:22]

最后，我們對這個方程做一些整理，使得它能夠寫成矩陣和向量的形式，更加整齊和簡潔。我們把每個方程都寫成*=*x*的模式。盡管并不是所有方程中都有乘法，但我們可以給沒有乘法的式子乘上一個。于是方程組變成了下面這個樣子：

把所有方程合到一起，就得到了原方程組的矩陣表示

我們把最終得到的這個矩陣向量方程叫做一個Rank-1ConstraintSystem(R1CS)。

總結一下，這一節中我們把計算驗證問題轉化成了數學問題R1CS。

在計算驗證問題中，Verifier知道一個電路，拿到公開部分的輸入，以及電路的輸出，判斷它們是否合法。

從R1CS問題到QAP問題

在零知識證明領域，R1CS基本上就是電路的代名詞。許多zkSNARK把R1CS問題作為目標問題。不過，大部分zkSNARK不會直接對R1CS下手，而是把R1CS問題繼續轉化，得到一個等價的多項式問題，再對這個多項式問題設計證明方案。Groth16也不例外。不同的zkSNARK選擇的多項式問題各不相同，Groth16選擇的是一個叫做QuadraticArithmeticProgramming(QAP)的問題。

這一節中介紹一下怎樣把R1CS問題轉化為等價的QAP問題。

然后，我們把這些列向量換成多項式，使得多項式方程和原先的向量方程等價。

把向量轉化成多項式的一種方式是使用多項式插值。

多項式插值

QAP問題

現在，我們直接把R1CS矩陣中的列向量換成它們的多項式插值，得到的結果如下圖所示。

我們用一個表格總結一下上文中提到的所有問題。

為什么要越搞越復雜，把電路問題轉化為QAP問題呢？一個簡單的回答：就是為了引入多項式！多項式是一個強大的工具。多項式的作用，可以理解為一個「杠桿」，或者叫「誤差放大器」。如果我們要檢查兩個長度為10000的向量是否相等，一定需要檢查10000次，哪怕檢查過了9999個點都是一樣的，也不能保證最后一點是相同的。而兩個10000次的多項式，哪怕非常接近，比如說它們的系數有9999個都相同，或者它們在這些點上的取值都相等，但只要有一個點不同，這兩個多項式就截然不同。這意味著，如果在一個很大的范圍內，例如到當中均勻隨機選一個點，兩個不同的多項式在這個點上相等的機會只有。檢查兩個多項式是否相等，比檢查同樣規模的向量要快得多，這幾乎是所有zkSNARK提高Verifier效率的根本原理。

為QAP問題構造zkSNARK

QAP問題就是Groth16要用來構造zkSNARK的最終問題了。不過，在解釋Groth16的構造細節之前，我們先準備一些工具。

準備工具

我們假設讀者對橢圓曲線群的基本特性和應用有所了解，并采用加法群的記號來描述橢圓曲線群中的點和運算。橢圓曲線群中的元素可以用來表示多項式，并限制Prover必須使用給定的多項式來進行線性組合。這正是QAP所需要用到的特性。

我們看一下橢圓曲線是怎么用來表示多項式的。

KoE假設

然而，上述直覺并不能從離散對數假設嚴格地證明而來。所以，只能把它作為一個新的安全性假設來用。這個假設就叫做Knowledge-of-Exponent(KoE)假設。

KoE假設怎樣應用到QAP問題上呢？那就是，KoE允許我們使用橢圓曲線點來表示多項式，并且迫使Prover只能從已知的多項式線性組合產生新的多項式。

不過，到目前為止，我們忽略了兩個關鍵問題：

關于第二個問題，一個解決方法就是雙線性配對。

雙線性配對

現在，我們已經準備好了工具：KoE假設和雙線性配對。接下來，我們就介紹Groth16是如何為QAP問題構造zkSNARK的。

Groth16方案

Setup

Prove

Verify

解析

我們簡單解釋一下上述構造為什么能夠工作。至于它為什么是安全的，請感興趣的讀者參閱原文。

當然，Verifier的驗證式中還包含了許多其他項，但在Groth的精心設計下，它們都消掉了。感興趣的可以自行驗證。

小結

本文中，我們解釋了Groth16這個zkSNARK方案的構造原理。我們從算術電路開始，介紹了怎樣將計算驗證問題轉化為R1CS問題以及QAP問題。然后我們解釋了怎樣使用Groth16方案來證明知道一個QAP問題的解。Groth16方案使用了KoE假設以及雙線性配對。它的缺點是需要可信第三方進行初始化，而且初始化過程需要對每個電路進行一次。與此同時，Groth16享有最高效的Verifier算法以及最短的證明字符串，使得Groth16成為至今仍然應用最廣的zkSNARK方案。

參考資料

JenGroth.OntheSizeofPairing-basedNon-interactiveArgument.2016.

撰文：Cyte

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