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ALI:ZKSwap團隊深入解讀零知識證明算法之Zk-stark(七):Low Degree Testing_ALICE

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前言

本系列的第二篇文章,以超市收據為例,描述了Arithmetization的具體過程。本文將以另外一個例子為基礎,在回顧Arithmetization過程的同時,將內容引申到多項式的LDT過程。

新的實例

AliceClaim:“我有1000000個數,他們都在范圍內”。為了方便驗證者Bob驗證,Alice首先要對Claim進行Arithmetization轉換。過程如下圖1所示(圖中:黑色箭頭代表主流程,紅色箭頭代表附加說明信息,黃色圈對應下面詳細說明的索引)。

下面具體說明一下對應流程:

首先生成執行軌跡(EXCUTETRACE),事實上,它是一張表,總共有1000000行;生成多項式約束(PolynomialConstrains),多項式約束滿足執行軌跡的每一行(個人理解:步驟1,2沒有一定的先后依賴關系,只是習慣上先生成執行軌跡,再生成約束多項式);對執行軌跡進行插值,得到一個度小于1000000的多項式P(x)、x取值,并計算更多點上的值,x取值范圍擴大到11000000000;假如,證明者有一個值不在范圍內(圖中紅線1/2所示),假如就是第1000000個點,它實際的值是13,大于9,其插值后的曲線G(x)如圖所示,圖中P(x)為有效曲線,G(x)為無效曲線。可以看出,兩條曲線在變量x取值范圍內,最多有1000000個交點,即有1000000000-1000000個點不同,這很重要。將插值后的多項式P(x)和多項式約束進行組合變換,最終得到的形式為:Q(P(x))=Ψ(x)*T(x),其中T(x)=(x-1)(x-2)……(x-1000000),x取值

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其中,d(Q(P(x)))=10000000、d(Ψ(x))=10000000-1000,000、d(T(x))=1000000;

至此,問題就轉化成了,Alice宣稱“多項式等式在變量x取值范圍內成立”的問題。那么驗證者Bob該如何驗證呢?具體過程如下:a.證明者Alice在本地計算多項式P(x)、Ψ(x)在所有點上的取值,對!從1至1000000000,并形成一個默克爾樹;b.驗證者Bob隨機的從內選取一個值ρ,并發送給證明者Alice,要求其返回對應的信息;c.證明者Alice返回P(ρ)、Ψ(ρ)、root、AuthorizedPath(P(ρ)、Ψ(ρ))給驗證者Bob;d.驗證者Bob首先根據默克爾樹驗證路徑驗證值P(ρ)、Ψ(ρ)的有效性,然后等式Q(P(ρ))=Ψ(ρ)*T(ρ),如果成立,則驗證通過;完整性分析:如果驗證者Alice是誠實的,那么等式Q(P(x))一定會被目標多項式T(x)整除,因此必定存在一個d(Ψ(x))=d(Q(P(x)))-d(T(x))的多項式Ψ(x),滿足Q(P(x))=Ψ(x)*T(x),因此對于任意的x,取值在之間,等式都會成立;

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可靠性分析:如果驗證者Alice是不誠實的,即類似于步驟3里的假設,在x=1000,000上,P(x)的取值為13,那么Q(P(1000,000))!=0,但是等式右邊,T(1000,000)=0,因此Q(P(x))!=Ψ(x)*T(x),即等式兩邊是不相等的多項式,其交點最多有10,000,000個,因此通過一次隨機選取,其驗證通過的概率僅為10,000,000/1000,000,000=1/100=0.01,經過k次驗證,其驗證通過的概率僅是1-10(^-2k);

上述的驗證過程為交互式的,如果是非交互式的,可以利Fiat-Shamirheuristic進行變換,以默克爾樹的根作為隨機源,生成要查詢的隨機點;LDT

我們忽略了一種攻擊方式,即針對每一個數x,證明者都隨機生成p,然后根據Ψ(x)=Q(p)/T(x),這些點不在任何一個度小于1000000的多項式上,但是可以通過驗證者驗證。如下圖2所示:

圖中:紫色的點為隨機生成的點p,這些點大概率不在一個度小于1000,000的多項式上(事實上,可以不考慮前1000,000個點,因為驗證者只會從范圍內取值)。因為即使選擇1000,000個點插值出一個度小于1000,000的多項式,也不能保證其他的點在這個多項式上,因為其他的點是隨機生成的。因此,需要有一種方式,保證證明者P(x)的度是小于1000,000,Ψ(x)的度小于10,000,000-1000,000。這就是LDT的目標,那LDT具體的過程是怎么樣的呢?請繼續往下看。

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舉個栗子,如果Alice想證明多項式f(x)的度是小于3的,即有可能是2次的或者是1次的。一般流程如下:

驗證者Bob隨機選取三個值a,b,c,發送給證明者Alice;證明者Alice返回f(a),f(b),f(c);驗證者Bob插值出度小于3的多項式g(x),然后再隨機選取一個點d,發送給證明者;證明者Alice返回f(d);驗證者Bob比對f(d)和g(d)的值,如果相等,則證明成立。回歸到一般情況,其過程可以用下圖3表示:

可以看出,如果D很大,Alice和Bob交互的次數則為D+k次,復雜度很高;有沒有一種辦法,使得兩者之間交互的次數小于D的情況下,使得驗證者相信多項式的度是小于D的,直接返回小于D個點肯定是不行的,因為那不能唯一確定一個度小于D的多項式,因此需要證明者需要額外發送一些輔助信息。下面我們以P(x)為例,詳細闡述這個過程(事實上,應該是證明P(x)和Ψ(x)的線性組合小于10,000,000-1000,000,本文重點是LDT,因此只以P(x)為例,這并不影響對LDT的理解)。

假如P(x)=x+x^999+x^1001+x^999999=x+x^999+x*x^1000+x^999*(x^1000)^999;

此時,我們找到一個二維多項式G(x,y),取值范圍分別是、,滿足:G(x,y)=x+x^999+x*y+x^999y^999可以發現,當y=x^1000時,滿足:G(x,y)=G(x,x^1000)=x+x^999+x*x^1000+x999(x^1000)^999=P(x)如果我們能證明G(x,y)相對的x,y的最高度都是小于1000,因為P(x)=G(x,x^1000)上,因此可以相信P(x)的度小于1000000;如圖4所示:

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驗證者把所有的點都計算好,形成一顆默克爾樹。驗證者隨機選擇一行和一列,如圖中紅線1/2所示,對于每一列,它是由關于y的度小于1000的多項式生成,對于每一行,它是由關于x的度小于1000的多項式生成。驗證者從行/列中隨機選擇1010個點,用來驗證對應行/列上的點是否在度小于1000的多項式上,需要注意的是,因為P(x)的點都在上圖的對角線上,因此我們要確保每一行/列對應的對角線上的點也在對應的度小于1000的多項式上,即1010個里面一定要包含對角線的點。

可靠性分析:如果原始多項式的度實際上是小于10^6+10999,即P(x)=x+x^999+x^1001+x^1010999,那么對應的G(x,y)為G(x,y)=x+x^999+x*y+x^999*y^1010,即,對于每一個x,G(x,y)是關于y的一元多項式函數,且度d<1010,因此下圖中的每一列所有點都是在度d<1010的多項式上,而不在d<1000的多項式式上。所以如果證明者任然宣稱多項式P(x)的度d<1000,000,則會驗證失敗,其他場景是同樣的道理

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那有沒有可能惡意證明者仍以G(x,y)=x+x^999+x*y+x^999*y^999的形式去生成證據呢?這樣會驗證通過嗎?

我們知道,我們在驗證時著重強調了對角線上的那一點一定要在多項式上,我們知道,此時對角線對應的多項式形式是:

P(x)=x+x^999+x1001+x^999999,而實際的P(x),我們在這里標記為P`(x),其形式是:

P`(x)=x+x^999+x^1001+x^1010999

因此,如果驗證者恰好選擇的點是兩個多項式的交點,則會驗證通過,事實上,兩個多項式最多有1000,000左右個交點,但是由于隨機選取的點不是證明者自己選取,是由默克爾樹的根為種子隨機生成,因此證明者沒有機會作惡,去可以選取那些能通過驗證的點。

由于總共由10^9個點,因此隨機選取一個點,能驗證成功的概率為10^6/10^9=10^(-3),如果選擇k行,則成功的概率僅為10^(-3k)。

以上可以看出,驗證者和證明者只需要交互1010*2*k個點,就可以完成驗證,假如k=10,則1010*2*10=20100<<10^6。

雖然上述實現了在交互次數小于D的情況下,完整LDT驗證,但是證明者的復雜度過于龐大,至少10^18的復雜度遠遠大于原始的計算,因此需要一些優化方案,降低復雜度。話不多說,直接引入有限域,畢竟在實際項目中,我們可不希望數值本身過于龐大。直接引用費馬小定理的結論:在有限域p內,如果滿足(p-1)能被k整除,則映射x=>x^k的像只有(p-1)/k+1個。下圖5以p=17,映射x=>x^2為例:

圖中,紅色為x^2在有限域p內的象,總共由(p-1)/2+1=9個。同時我們可以發現,9^2和8^2的像一致,10^2和7^2的像一致,以此類推,16^2和1^2的像一致,記住這個現象,對下一張圖的理解有幫助。

因此,在本例中,我們選擇一個素數p=1000,005,001,其滿足:

為素數p-1能被1000整除p要大于10^9因此,在有限域p內,x=>x^1000的像在p內有(p-1)/1000=1000005個,因此圖4可以變成圖6的形式:

可以看出,列坐標變成了10^6個元素,對角線變成了平行的線條,總共有1000個。還記得上面費馬小定理結論的特殊現象嗎?這就是對角線這種分布的原因,讀者試著去理解(可能讀者會覺得,對角線應該是鋸齒形,不是這種平行的形式,也許你是對的,但是這并不影響驗證流程)。此時證明者的復雜度已經從10^18減少到了10^15次方,證明和驗證過程和步驟3描述的仍然一致。

還能不能繼續優化呢?答案是肯定的。回想起前面所述的驗證過程,對于每一行/列,驗證者都要獲取1000個點進行插值得出一個度小于1000的多項式,仔細觀察圖6,對于每一行,原始數據里不就是有1000個數么?那我們干脆選這些點插值出一個度小于1000的多項式,然后只需要隨機讓證明者再計算任何一列,并且證明沿著列上的點都在度小于1000的多項式上,并且列上的點也在對應的利用原始數據插值出的行多項式上。此時,證明者復雜度從10^15減少到了10^9次方。總結:個人理解,從步驟1到步驟5,其實是PCP到IOP的選擇過程。a.PCP要求證明者生成全部的證據,然后驗證者多次隨機選取其中的某一部分進行驗證,但是這樣,證明者的復雜度仍然很高;b.IOP要求證明者不用生成全部的證據,根據多次的交互,每次生成只需生成部分證據,使得證明的復雜度和D呈近似線性關系;證明者復雜度已經降低到了與D呈擬線性關系,驗證者的復雜度雖然是亞線性,交互次數已經低于D,但是能不能優化到更低呢?基于證明復雜度的最優設置,我們繼續探索驗證復雜度的優化之路,回顧P(x)=x+x^999+x^1001+x^999999=x+x*(x^2)^499+x*(x^2)^500+x*(x^2)499999,令G(x,y)=x+xy^499+xy^500+xy^499999,則當y=x^2時,有G(x,y)=G(x,x^2)=x+x*(x^2)^499+x*(x^2)^500+x*(x^2)*499999=P(x)。最終的圖應如下圖7所示:

從圖中可知:

證明則復雜度仍為10^9次方;每一行上的點都在度d<2的多項式上,因為當y取固定值時,G(x,y)就是關于x的一次多項式;每一列上的點都在度d<D/2的多項式上,證明者需要證明這個多項式是小于D/2的,假定這個多項式為P1(x),這個時候,并非驗證者選取大于D/2個點去驗證,因為驗證復雜度仍然不夠低,而是對這一列再一次用到類似于P(x)的處理過程,如圖7中下面的圖所示,以此循環,直到可以直接判斷列上的多項式的度為止,類似于行。總結

至此,本篇文章就結束了,總結下來,本文主要闡述了以下幾個內容:

如何轉換問題形式--Arithmetization為何需要LDT--為了驗證簡潔LDT的大概過程--二分法驗證,類似于FFT降低LDT的復雜度--有限域+IOP

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